Lösungen Kapitel 8

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Aufgabe 8.1:

1 Zacke -> 3 Möglichkeiten 2 Zacken -> $LaTeX: 3^2$ Möglichkeiten ... m Zacken -> $LaTeX: 3^m$ Möglichkeiten

$LaTeX: 3^m \geq 10^9$

$LaTeX: m log(3)=9 log(10)$

$LaTeX: m \geq 9\frac{log(10)}{log(3)}\approx18.86$

Bei 5 Höhen:

$LaTeX: m \geq 9\frac{log(10)}{log(5)}\approx12.88$

Aufgabe 8.2:

8.4? $LaTeX: -\frac{dp}{dF}=\frac{k_F}{\dot{f}p(F)}$ ?

Aufgabe 8.3:

Der Ort des Massenpunkts sei x. Dann gilt

$LaTeX: G(x,{x_0}) = \frac{k}{2}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} - {f_1}x$

Die nicht-normierte Wahrscheinlichkeitsdichte $LaTeX: w(x,x_0)$ ist dann gegeben durch

$LaTeX: w(x,{x_0}) = \exp \left( { - \frac{{G(x,{x_0})}}{{{k_B}T}}} \right)$

die normierte Wahrscheinlichkeitsdichte $LaTeX: w_n$ lautete dann

$LaTeX: {w_n}(x,{x_0}) = \sqrt {\frac{k}{{2\pi {k_B}T}}} \exp \left( { - \frac{{{{\left( {kx - k{x_0} - {f_1}} \right)}^2}}}{{2k{k_B}T}}} \right)$

Mit dieser Wahrscheinlichkeitsdichte ergeben sich die folgenden Mittelwerte:

$LaTeX: \left\langle x \right\rangle = \int\limits_{ - \infty }^\infty {x{w_n}(x,{x_0})dx} = {x_0} + \frac{{{f_1}}}{k}$

$LaTeX: \left\langle {{x^2}} \right\rangle = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{x^2}{w_n}(x,{x_0})dx} = {\left( {{x_0} + \frac{{{f_1}}}{k}} \right)^2} + \frac{{{k_B}T}}{k}$

und daraus die Varianz:

$LaTeX: \left\langle {{x^2}} \right\rangle - {\left\langle x \right\rangle ^2} = \frac{{{k_B}T}}{k}$

Für k=1,7 $LaTeX: \frac{\mu N}{m}$ ergibt sich als Wurzel aus der mittleren quadratischen Verschiebung 48 nm, das System mittelt also wirklich über viele Basenpaare. Alternativ zu der Herleitung über die Wahrscheinlichkeitsdichte, die auf ein komplizierteres Potential als eine schräge Rampe ausgedehnt werden kann, kann man das Endergebnis auch direkt aus dem Gleichverteilungssatz der Thermodynamik ablesen: Auch eine durch eine Kraft ausgelenkte Feder ist ein harmonischer Freiheitsgrad, der im Mittel mit einer Energie von $LaTeX: \frac{k_BT}{2}$ angeregt ist.

Aufgabe 8.4:

Die Reibungskraft beträgt nach der Stokesschen Formel $LaTeX: F = - 6\pi \eta Rv$

daraus ergibt sich die Bewegungsgleichung

$LaTeX: m\frac{{dv}}{{dt}} + 6\pi \eta Rv = 0$

mit der Lösung

$LaTeX: v(t) = {v_0}\exp \left( { - \frac{{6\pi \eta R}}{m}t} \right)$

Die Abklingrate beträgt also

$LaTeX: {k_R} = \frac{{6\pi \eta R}}{m} = \frac{{9\eta }}{{2\rho {R^2}}}$

Der Vorfaktor $LaTeX: \frac{{9\eta }}{{2\rho }}$ beträgt für Wasser ungefähr $LaTeX: 4,5 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{sec}$ . Daraus ergeben sich folgende Abklingzeiten:

\begin{table}

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
 \hline
  R          & 0.1m   & 0.5  & 3 nm & 0.15 nm \\
   & 2200 s & 55 ns       & 2 ps & 5 fs    \\
 \hline
\end{tabular}

\end{table}

Die mittlere Bewegung von Proteinen und kleinen Molekülen ist also in guter Näherung überdämpft.

Aufgabe 8.5:

Völlig analoge Rechnung zu der im Text. Die Stärke der fluktuierenden Kraft ist unverändert.

Aufgabe 8.6:

a) notwendige zeitliche Auflösung: Messung einer Größe mit der zeitlichen Auflösung $LaTeX: \Delta t$ anstelle des Funktionswerts bei t das Integral der Funktion von t bis $LaTeX: \Delta t$ gemessen wird. Daraus leitet sich auf zweierlei Wegen die Frequenzauflösung der gemessenen Funktion her. Nach dem Nyquist-Theorem enthält eine Funktion, die mit Zeitauflösung $LaTeX: \Delta t$ gemessen wird nur Frequenzanteile bis zur Kreisfrequenz $LaTeX: \frac{\pi}{\Delta t}$ . Die gemittelte quadratische Verschiebung des harmonischen Oszillators ergibt sich aus dem Integral über das Leistungsspektrum der Verschiebungen, d.h. $LaTeX: \left\langle {{x^2}} \right\rangle = \frac{1}{{{T_D}}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left| {$ ~ $LaTeX: x(\omega )} \right|}^2}d\omega }$ . Damit die gemessene Verschiebungen auch den gesamten spektralen Anteil abdecken, muss $LaTeX: \frac{\pi}{\Delta t}$ sehr viel größer sein als die Kreisfrequenz $LaTeX: {\omega _1} = \sqrt {\left| {{\omega _0}^2 - {\Gamma ^2}} \right|}$ des Brownschen Oszillators.

Anstelle der Verwendung des Nyquist-Theorems kann man sich auch die endliche zeitliche Auflösung der Messung durch Faltung des Signals mit einer Filterfunktion fi(t) entstanden denken. Für diese Filterfunktion gilt $LaTeX: fi(t) = \frac{1}{{\Delta t}}$ falls $LaTeX: \left| t \right| < \Delta t/2$ und $LaTeX: fi(t) = 0$ sonst. Die Fouriertransformierte der gemessenen Funktion ist dann das Produkt der Fouriertransformierten des "echten" Signals und derjenigen der Filterfunktion. Die Fouriertransformierte der Filterfunktion ist gegeben durch ~ $LaTeX: fi(\omega ) = \sqrt {2/\pi } \frac{{\sin \left( {\omega \Delta t/2} \right)}}{{\omega \Delta t}}$ Multiplikation mit diesem Spektrum verfälscht das Spektrum des Brownschen Oszillators nur dann nicht, falls $LaTeX: \Delta t < < 1/{\omega _1}$ .

b) Notwendige Mittelungsdauer. Eine Messung über die Zeitdauer $LaTeX: t_D$ kann nur als periodisch fortgesetztes Signal fouriertransformiert werden. Anstelle des Fourierintegrals wird also eine Fourierreihe bestimmt, d.h. das Spektrum ist nur bei diskreten Frequenzen bestimmbar. Diese Frequenzen sind die Vielfachen von $LaTeX: \frac{{2\pi }}{{{t_D}}}$ . Damit das Spektrum richtig wiedergegeben wird, d.h. also auch sein Integral korrekt bestimmt werden kann, muss dieses Frequenzintervall viel kleiner sein, als alle charakteristischen Frequenzen im Spektrum des Brownschen Oszillators. Für nicht-überdämpfte Brownsche Oszillatoren ist die Breite der Resonanz die schmalste Struktur im Leistungsspektrum. Die Breite dieser Resonanz ist $LaTeX: \Gamma$ , d.h. hier muss $LaTeX: {t_D} > > {\Gamma ^{ - 1}}$ sein. Beim überdämpften Brownschen Oszillator gibt es nur eine charakteristische Frequenz, diese ist gegeben durch $LaTeX: \frac{k}{\lambda}$ . Hier muss das Auflösungsintervall $LaTeX: \Delta t$ viel kleiner sein als $LaTeX: \frac{\lambda}{k}$ und die Messdauer $LaTeX: t_D$ viel größer.

Aufgabe 8.7:

Siehe 2) falls die Messung der Fluktuationen zu langsam ist, wird die Auslenkung unterschätzt (Fluktuationen werden wegintegriert), die Steifheit also überschätzt. Falls die Messdauer zu kurz ist, werden die Fluktuationen ebenfalls unterschätzt, da der Mittelwert der gemessenen Positionen des Oszillators nicht der Ruhelage des Oszillators entspricht und ein Teil der Fluktuationen somit entfernt wird. Die Steifheit wird hier also auch überschätzt. Falls die Messtechnik schnell genug und die Messdauer lang genug ist, wird die Steifheit normalerweise unterschätzt, da sämtliche Unsicherheiten der Messung das Rauschen des Signals vergrößern.

Aufgabe 8.8:

a) bei $LaTeX: N_{ij}$ AS:

$LaTeX: \Delta L= |(N*0.365nm)-\sum_{ij}\vec{r_{ij}}|$ ?

b) [Dietz]

c) [3]

d) [4]

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